Derivadas parciales.
Suponga que se tiene una función \(f\) en varias variables, en la cual cambia una sola de sus variables, mientras las demás permanecen constantes, del cálculo en una variable se sabe que si \(f\) es una función definida para algún valor \(x\) entonces la derivada de \(f\) está dada por,
$$\lim_{∆x\to0}{\frac{f(x+∆x)-f(x)}{∆x}}~~{\rm o} ~~ \lim_{h\to0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$
para \(h=∆x\), siempre que el límite exista.
Comenzando por analizar el caso para el que \(f\left(x,y\right)\) está definida en el punto \(\left(a,b\right)\), en el cual solo está cambiando una de sus variables, mientras la otra permanece constante, entonces si \(f\) tiene una derivada en \((a,b)\) se dice que ésta derivada, es la derivada parcial de \(f\) con respecto a la variable que está cambiando, denotado como, $$\frac{\partial}{\partial x}\left(f\left(x,y\right)\right)=f_x\ \ \ \ \ \ {\rm o}\ \ \ \ \ \ \frac{\partial}{\partial y}\left(f\left(x,y\right)\right)=f_y$$ Lo cual se lee, “derivada parcial con respecto de equis, de efe de equis coma ye, o derivada parcial con respecto de ye, de efe de equis coma ye”, esto es,
Definición de derivadas parciales
$$f_x=\lim_{h\to0}{\frac{f\left(x+h,y\right)-f\left(x,y\right)}{h}}\ \ \ \ \ \ \ f_y=\ \lim_{h\to0}{\frac{f\left(x,y+h\right)-f\left(x,y\right)}{h}}$$ Las derivadas parciales evaluadas en un punto \left(a,b\right) se denotan por, $$\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{\left(a,b\right)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{\left(a,b\right)}$$ concepto que puede ser aplicado a n variables, para una función \(f\left(x_1,x_2,x_3\ldots x_n\right).\)
Puede demostrarse mediante el proceso del uso del límite que las derivadas parciales cumplen con las propiedades establecidas para las derivadas ordinarias que ya han sido estudiadas en cursos de cálculos diferencial, como son las propiedades de linealidad, derivada de una constante, reglas del múltiplo constante, del producto y del cociente, derivadas exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.